[Submitted on 31 May 2026 (v1), last revised 29 Jul 2026 (this version, v3)]

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Abstract:平方-乘法算法，也称为二进制求幂或重复平方，是现代计算中快速求幂的标准方法。然而，其历史起源仍不确定。本文通过精选原始文献考察了该方法的出现与逐步形式化。特别关注了贾姆希德·卡什（Jamshid al-Kashi）十五世纪的《算术之钥》（Miftah al-Hisab），其中该算法被明确表述为一种通用的计算方法，并被卡什宣称为其独创。在阿尔-乌克利迪西（al-Uqlidisi）和比鲁尼（al-Biruni）的著作中也发现了更早的连续平方实例，尽管这些案例中该技术出现在特定计算中，而非作为完全阐明的通用规则。最早的已知前身见于古代印度（约公元前200年）宾伽罗（Pingala）的韵律研究中，这些研究似乎在其对二进制表示法的使用中预设了该方法的概念基础。作为历史发展的一部分，勒让德（Legendre）1798年的实例是该算法在欧洲最早有记载的使用之一，它作为特定数论计算中的一个辅助步骤出现。证据表明，这并非单一的连续传播，而是相关方法在不同语境中的反复独立再现。到二十世纪，平方-乘法已成为更广泛的加法链理论中的一个特例。通过探索这一智力发展过程，本文为这个在现代计算中突出的算法提供了历史背景。

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From: Omid Khormali [view email]
[v1] Sun, 31 May 2026 02:17:36 UTC (278 KB)
[v2] Sat, 6 Jun 2026 02:20:00 UTC (21 KB)
[v3] Wed, 29 Jul 2026 03:57:04 UTC (22 KB)