[Submitted on 7 Jul 2026 (v1), last revised 29 Jul 2026 (this version, v3)]

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Abstract:緊緻流形上的加權經驗測度出現在重要性採樣、粒子近似、後驗摘要、數值積分以及表示學習等應用中。傳統有效樣本數及其相關權重摘要忽略了支撐空間的幾何結構。我們提出熱核熵剖面來衡量在不同尺度下經由內在擴散後的不均勻程度。對於二階 Rényi 熵，成對熱核重疊可給出精確的剖面與幾何有效樣本數。此有效樣本數會對相近或重複的粒子進行折扣；當不同粒子間的重疊趨近於零時，幾何有效樣本數便趨近於傳統有效樣本數。在緊緻無邊界流形上，我們證明了剖面的單調性、gESS 的尺度極限、定權重一致性，以及自正規化重要性採樣的有界比率結果。在球面上，未取對數的剖面可分解為球諧函數能量；其中前幾項分別對應平方平均結果能量與無跡二階矩能量，進而提供 vMF 型與 Bingham 型的純量摘要。實驗顯示該方法能辨識僅依賴權重或一階矩摘要無法捕捉的對向點、腰帶狀、多峰以及重複粒子等結構。

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From: Kisung You [view email]
[v1] Tue, 7 Jul 2026 18:15:09 UTC (390 KB)
[v2] Thu, 23 Jul 2026 04:57:59 UTC (389 KB)
[v3] Wed, 29 Jul 2026 23:48:50 UTC (389 KB)