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ヤコビアン予想は、多項式写像 F:C^n->C^n がゼロでない 定数ヤコビアン行列式を持つとき、それが自己同型写像であることを主張する。 平面の場合、Keller (1939)によって最初に述べられたもので、複素数上の二変数多項式環 C[x,y] からそれ自身への環準同型 F が C を固定し、x と y をそれぞれ f と g に写すとき、ヤコビアン f_xg_y-f_yg_x がゼロでない定数であることとFが自己同型写像であることが同値であることを意味する。この条件は必要であることが容易に示される。

これまでに少なくとも5件の誤った証明と、多くの誤った試みが発表されてきた。2004年11月、Hochster (2004) は Carolyn Dean による新しい証明を発表するメールを送った。しかし、この証明にも誤りがあった。

JacobianConjectureCounterexample

2026年7月、Alpöge (2026) は AI システム Fable に帰属される以下の多項式反例を発表した。 F=(P,Q,R) と書くとき、その座標多項式は

そのヤコビアン行列式はゼロでない定数

detJ_F=-2,

(4)

であるが、3つの異なる点

(0,0,-1/4),(1,-3/2,(13)/2),(-1,3/2,(13)/2),

(5)

は同じ像を持つ。なぜなら

F(0,0,-1/4)=F(1,-3/2,(13)/2)=F(-1,3/2,(13)/2)=(-1/4,0,0).

(6)

したがって、ヤコビアン予想は次元3で反証され、恒等座標を追加することで任意の次元 n>=3 でも反証される (Zhang 2026)。平面の場合は依然として未解決である。

ヤコビアン予想は Smaleの問題 の一つである。

関連項目

可逆多項式写像, ヤコビアン, 多項式写像, Smaleの問題

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参考文献

Abhyankar, S. S. Lectures on Expansion Techniques in Algebraic Geometry. Bombay, India: Tata Institute of Fundamental Research, 1977.Alpöge, L. X post, July 20, 2026. https://x.com/__alpoge__/status/2079028340955197566.Bass, H. "Conjecture jacobienne et opérateurs différentiels." Mém. Soc. Math. France, No. 38, 39-50, 1989.Bass, H.; Connell, E. H.; and Wright, D. "The Jacobian Conjecture: Reduction of Degree and Formal Expansion of the Inverse." Bull. Amer. Math. Soc. 7, 287-330, 1982.Becker, T. and Weispfenning, V. Gröbner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. New York: Springer-Verlag, p. 330, 1993.Drużkowski, L. M. "The Jacobian Conjecture." IMPAN Preprint 492. Kraków, Poland: Math. Inst. Jagiellonian University, 1991.Formanek, E. "Observations About the Jacobian Conjecture." Houston J. Math. 20, 369-380, 1994.Hochster, M. "Lectures on Jacobian Conjecture." sci.math.research post forwarded by I. Algol. Nov. 11, 2004.Keller, O.-H. "Ganze Cremona Transformationen." Monatsh. für Math. u. Phys. 47, 299-306, 1939.Meisters, G. H. "Jacobian Problems in Differential Equations and Algebraic Geometry." Rocky Mountain J. Math. 12, 679-705, 1982.Meisters, G. H. "Wanted: A Bad Matrix." Amer. Math. Monthly 102, 546-550, 1995.Smale, S. "Mathematical Problems for the Next Century." Math. Intelligencer 20, No. 2, 7-15, 1998.Smale, S. "Mathematical Problems for the Next Century." In Mathematics: Frontiers and Perspectives 2000 (Ed. V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax, and B. Mazur). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Zhang, Z. "Direct Consequences of the Three-Dimensional Counterexample to the Jacobian Conjecture." July 20, 2026. https://zzhang-iu.github.io/papers/direct-consequences-jacobian/.

Wolfram|Alphaで参照

Jacobian Conjecture

この記事の引用

Weisstein, Eric W. "Jacobian Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/JacobianConjecture.html

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